Por
M. A. Sandoval-Hernández1 , F. I. Molina-Herrera2, H. Jiménez-Islas2 ,
S. Ocaña-Pimentel3, H. Vazquez-Leal4, U. A. Filobello Nino4*
1 Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios, No. 190. Av. 15 S/N esq. calle 11, Col.
Venustiano, Carranza, Boca del Río 94297, Veracruz, México; xallitic476@gmail.com
2 Departamento de Ingeniería Bioquímica y Ambiental, Tecnológico Nacional de México en Celaya,
Antonio García Cubas Pte #600, esq, Ave. Tecnológico, Celaya Gto. C.P. 38010, México;
fi.molina@ugto.mx (F.I.M.-H.); hugo.jimenez@itcelaya.edu.mx (H.J.-I.)
3 Facultad de Arquitectura, Universidad Veracruzana, Circuito Gonzalo Aguirre Beltrán S/N,
Xalapa, 91090, Veracruz, México
4 Facultad de Instrumentación Electrónica, Universidad Veracruzana, Circuito Gonzalo Aguirre Beltrán S/N,
Xalapa, 91090, Veracruz, México
*Autor de correspondencia: ufilobello@uv.mx
| Información del artículo | Resumen |
| Palabras clave:Ecuaciones diferencialesMétodos numéricosCondiciones de frontera | Antecedentes: En general, los autores que publican artículos de investigación omiten detalles de la metodología utilizada, considerando que todo el público que lee el trabajo posee una amplia formación académica que le permite comprender completamente todo el contenido, principalmente cuando se trata de estudiantes noveles que van incursionando en el mundo de la investigación. Objetivo: clarificar los procedimientos de solución utilizando diferentes técnicas de residuos ponderados empleando como caso de estudio una ecuación diferencial lineal y mostrar una comparación de error. Métodos: La investigación emplea las técnicas de residuos ponderados siendo los métodos de subdominios, colocación, mínimos cuadrados, y momentosResultados: Se presentan las distintas soluciones obtenidas con los residuos ponderados. Asimismo, se muestran las gráficas de error, donde el método de colocación simple mostró un mayor error absoluto.Conclusiones: A partir de los resultados obtenidos, la metodología de residuos ponderados puede aplicarse a la solución de ecuaciones diferenciales no lineales siguiendo la metodología presentada en la literatura |
1. Introducción
Los métodos numéricos son el puente entre los modelos matemáticos y la predicción cuantitativa en ciencia e ingeniería. Permiten aproximar soluciones cuando el tratamiento analítico es inviable o poco práctico, con control explícito del error y criterios de estabilidad. Su relevancia es particularmente evidente en las ecuaciones diferenciales —ordinarias y en derivadas parciales— que modelan transferencia de calor y masa, flujo de fluidos, circuitos eléctricos, dinámica poblacional y control de procesos, entre otras áreas (Chau, 2019; Workineh et al., 2024).
En el caso de ecuaciones algebraicas no lineales, la forma , se utilizan métodos iterativos para buscar raices como el método de Newton–Raphson, el cual itera hasta que se cumple un criterio de paro. Otro método utilizado es la falsa posición (regula falsi) opera por acotamiento: mantiene un intervalo
con
y actualiza por la secante; sus variantes modernas —Illinois, Pegasus o marcos unificados de escala— mejoran la velocidad y evitan estancamientos (Fernández‑Díaz et al., 2023; Badr et al., 2021; Okawa, 2023).
Otra área es la integración numérica, indispensable para evaluar integrales definidas cuando no hay antiderivada cerrada o cuando los datos provienen de mediciones discretas. Las fórmulas de Newton–Cotes compuestas (trapecio y Simpson) ofrecen precisión creciente al refinar la malla; la cuadratura gaussiana logra alta exactitud con pocos puntos en integrandos suaves; y los esquemas adaptativos ajustan el paso o el orden para cumplir tolerancias predefinidas. En la práctica, bibliotecas consolidadas como SciPy integran estas familias con estimadores de error y estrategias robustas de adaptación (Virtanen et al., 2020). Novedades recientes exploran correcciones a reglas clásicas para ganar orden efectivo sin incrementar excesivamente el costo computacional (Mahata & Hosen, 2025; Johnson, 2019).
En el caso de las ecuaciones diferenciales. En problemas de valor inicial, los métodos explícitos (Euler, Runge–Kutta de cuarto orden) y multiescalón (Adams–Bashforth/Moulton) equilibran costo y exactitud, mientras que los métodos implícitos (Backward Euler, BDF) resultan preferibles en problemas rígidos. Una tendencia activa combina discretizaciones espaciales (diferencias/elementos/volúmenes finitos) con integradores temporales estables para EDP, y continúa la investigación en esquemas de mayor orden y estabilidad para IVP desafiantes (Kadum, 2023; Workineh et al., 2024). Por otro lado, cuando se tienen problemas de frontera se utilizan técnicas como la discretización mediante diferencias finitas (Finlayson, 1980; Vemuri, & Karplus, 1981), Colocación ortogonal (Villadsen & Michelsen, 1978), residuos ponderados, (Villadsen & Michelsen, 1978; Finlayson, 1980) entre otros.
En (Sandoval-Hernández et al., 2024) se resolvió una ecuación diferencial no lineal mediante con los métodos de subdominios. Asimismo en (Finlayson, 1980; Vemuri, & Karplus, 1981; Villadsen & Michelsen, 1978;) se presentan las variantes de residuos ponderados sin presentar detalles en el proceso de solución, asumiendo que el lector tiene conocimientos solidos de ecuaciones diferenciales y métodos numéricos. Con el fin de soslayar las consecuencias del discurso matemático escolar en la enseñanza de los algoritmos numéricos, y en general, en el área de las matemáticas (Sandoval-Hernández et al., 2021), El objetivo de este artículo es mostrar los procedimientos de solución utilizando diferentes técnicas de los métodos residuos ponderados (MRP), tales como, el método de subdominios y el método de los momentos mostrando una comparación de error.
Este trabajo está organizado de la siguiente manera: la sección 2 introduce la metodología de residuos ponderados; la Sección 3 desarrolla un caso de estudio donde se resuelve una ecuación diferencial ordinaria lineal con distintas técnicas de residuos ponderados; la Sección 4 discute los resultados; y la Sección 5 expone las conclusiones.
2. Residuos ponderados
2.4 Método de los momentos
En este caso, las funciones de ponderación se eligen como polinomios (típicamente ortogonales) definidos sobre el dominio Ω:
3. Caso de estudio
Caso de estudio. Resolver la ecuación diferencial de segundo orden
La ecuación (21) es el residuo que se utilizará en la aplicación de cada uno de los diferentes métodos de residuos ponderados (Villadsen & Michelsen, 1978; Finlayson, 1980) para dar solución a la ecuación diferencial (16).
3.1 Solución por el método de los subdominios.
El intervalo [0,1] en este caso de estudio será dividido en tres dómino, esto es de tal forma que el domino de interés sea totalmente cubierto. De esta manera, al utilizar la ecuación (6) para integrar el residuo
dado por (18), se obtienen tres integrales, una para cada subdominio, dando lugar a un sistema de ecuaciones para todo el dominio
4. Resultados y discusión
La figura 1 muestra la comparación de la solución de la ecuación diferencial (16) utilizando la solución exacta (17) contra los métodos de residuos ponderados dados por las ecuaciones (23), (27), (30) y (32). Note que, en general, todas las soluciones tienden a seguir la solución exacta, iniciando en la frontera izquierda y culminando en la frontera derecha.
Figura 1. Solución de ecuación diferencial utilizando residuos ponderados.
En la tabla 1 se muestran los coeficientes de todos los polinomios obtenidos con los diferentes métodos MRP en este trabajo. Note la similitud de los coeficientes en los métodos de subdominios, mínimos, cuadrados y momentos, en donde los dos primeros dígitos significativos después del punto decimal son los mismos. En todos los casos, el coeficiente a es igual a cero, ya que en el proceso de solución debía establecerse a cero para satisfacer la frontera para
Tabla 1. Coeficientes de los polinomios obtenidos en los métodos MRP.
| Método | |||||
| Subdominios | 0.000000 | ||||
| Colocación | |||||
| Mínimos cuadrados | |||||
| Momentos |
La figura 2 muestra el error absoluto de los diferentes métodos de residuos ponderados contra la solución exacta. Véase que el método de colocación presenta el mayor error absoluto para (y para todo el domino), mientras que para
, el método de subdominios presenta el menor error (Villadsen & Michelsen,1978).
Figura 2. Error absoluto en los métodos de residuos ponderados.
Para cuantificar cuál de todos los polinomios obtenidos exhibe un menor error, se ha procedido a calcular la norma , también conocido como el error medio cuadrático (RMS) (Sandoval et al, 2019) el cual se calculó con
donde y
son los límites de integración,
es el error absoluto. El proceso de integración se realizó numéricamente utilizando la regla de Simpson. La tabla 2 muestra los errores RMS utilizando ec. (18) para cada uno de los polinomios en donde el método de subdominios presento el menor error RMS, mientras que el método de colocación presento el mayor error.
Tabla 2. Errores RMS en los polinomios obtenidos en los métodos MRP.
| Método | Error RMS ec.(18) | Error RMS ec. (36) |
| Subdominios | ||
| Colocación | ||
| Mínimos cuadrados | ||
| Momentos |
Para determinar la norma se emplea la formula dada por
donde es el dominio y
es el error absoluto.
La tabla 3 muestra la norma , o error máximo, para cada uno de los métodos en el intervalo. En letra negrita se muestra el error máximo para cada uno de los métodos. Por ejemplo, en el caso del método de colocación, la tabla 2 muestra que el error máximo ocurre en
, mientras que en los demás métodos es en
. Note que los errores máximos para cada uno de los métodos calculados y presentados en la tabla 3 están en de acuerdo con las gráficas de la figura 2. Es oportuno advertir que la tabla 3 presenta valores aproximados, ya que solamente se han calculado 11 puntos, incluyendo las fronteras, pero si se dispone de una mayor resolución, entonces es posible conocer con mayor precisión los errores y los valores de
donde estos ocurren.
Tabla 3. Errores máximos en los polinomios obtenidos en los métodos MRP.
| Nodo X | Subdominios | Colocación | Momentos | Mínimos cuadrados |
| 0 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000000 | 0.000000000 |
| 0.1 | 0.000107 | 0.002405 | 0.000188906 | 0.000173553 |
| 0.2 | 0.000386 | 0.003022 | 0.000510379 | 0.000439222 |
| 0.3 | 0.000546 | 0.002787 | 0.000677577 | 0.000544081 |
| 0.4 | 0.000483 | 0.002308 | 0.000590611 | 0.000412176 |
| 0.5 | 0.000231 | 0.001910 | 0.000294914 | 0.000102891 |
| 0.6 | 0.000079 | 0.001683 | 6.96158E-05 | 0.000239904 |
| 0.7 | 0.000290 | 0.001545 | 0.000330723 | 0.000449961 |
| 0.8 | 0.000288 | 0.001321 | 0.000359658 | 0.00041452 |
| 0.9 | 0.000098 | 0.000829 | 0.000163834 | 0.000166966 |
| 1.0 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000000 | 0.000000000 |
En el caso de que se quiera determinar los dígitos significativos en una aproximación, entonces se utiliza la fórmula (Sandoval et al, 2021a)
donde es la función exacta y
es la función aproximada y SD son los dígitos significativos.
La figura 3 muestra los dígitos significativos para la ecuación (23), la cual presentó un menor error RMS. Note que esta ecuación presenta al menos dos dígitos significativos de precisión, sin embargo, en algunas regiones puede alcanzar 4 o más dígitos significativos
Figura 3. Dígitos significativos para la ecuación (23).
Es posible obtener una mejor exactitud en los métodos MRP si se utiliza un polinomio de mayor grado. Por ejemplo, el polinomio de grado dado por
al emplearse en 
en cada uno de métodos MRP presentados en este trabajo, se obtendría en todos los casos un polinomio de grado 6 con 
cumpliendo con la condición de frontera en 
En este caso ,el error absoluto en todos los casos disminuye. La figura 4 muestra el error absoluto al utilizar para la ec. (36). Nótese que el error para todos los caso es del orden 
.
Figura 4. Error absoluto en los métodos de residuos ponderados con eq. (36).
Para este caso, la tabla 2 muestra el error RMS en donde el método de los subdominios tuvo el menor error. De esta manera, al disminuir el error en el método de subdominos, se obtiene una mejora en los dígitos significativos. La figura 5 muestra un incremento de dígitos significativos para el método de subdominios, en donde se han alcanzado al menos 4 para todo el dominio.
Figura 5. Dígitos significativos para el método de subdominios con eq. (36).
Es posible utilizar subdominios de distintos tamaños a los presentados en este caso de estudio. Asimismo, los puntos de colocación pueden tener distinta longitud. La elección de los subdominios y los puntos de colocación puede verse influida por la naturaleza de la ecuación diferencial, es decir, la no linealidad.
Los sistemas algebraicos de ecuaciones obtenidos en todos los métodos de residuos ponderados, en este caso de estudio, son lineales porque son generados por la linealidad de la ecuación diferencial (16), sin embargo, si la ecuación diferencial es no lineal, entonces se tendrían sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales y deben utilizarse métodos numéricos como Newton-Raphson, homotopía de continuación (Sandoval-Hernández, 2025a y 2025b), entre otros, para su solución.
En el caso de estudio presentado, el modelo de solución utilizó un polinomio de orden 4, sin embargo, se puede obtener una mayor exactitud si se incrementa el orden del polinomio, por ejemplo, un orden u
. No obstante, es importante mencionar que utilizar un polinomio de orden mayor puede ocasionar inestabilidades en la solución al tratarse de una ecuación diferencial no lineal porque pueden existir varias zonas en donde se presente un mayor error o divergencia en el dominio. Es recomendable hacer distintas pruebas, como las de error absoluto, para diferentes
, probar con subdominios de diferente tamaño, puntos de colocación no uniformes, etc., con el fin de asegurarse que se ha obtenido la mejor solución. En el apéndice se proporciona un código en Maple para construir las simulaciones del caso de estudio presentado en este trabajo. Este código puede modificarse libremente, por ejemplo, modificar R(x), etc. Existen otras metodologías derivadas de los métodos presentados en este trabajo, las cuales han quedado fuera del alcance de este trabajo, conocidas como colocación ortogonal (Villadsen & Michelsen, 1978), residuos ponderados, (Villadsen & Michelsen, 1978; Finlayson, 1980) y colocación ortogonal en elementos finitos (Finlayson, 1980) que presentan una metodología más sistemática y robusta al definir los puntos de colocación en lugares específicos de acuerdo a las raíces de los polinomios de Legendre y no una elección al azar como ocurre con el método de colocación, también conocido como colocación simple y que presentan una mayor exactitud.
Es oportuno mencionar que en metodologías sistematizadas, por ejemplo, las mallas equiespaciadas son mejores para hacer la discretización espacial de los operadores diferenciales y, dependiendo de la tolerancia impuesta en el método iterativo, se puede utilizar mallas más finas para hacer más precisa la solución numérica. Cuando las ecuaciones diferenciales son altamente no lineales (por ejemplo, en la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes en dinámica de fluidos), se requerirán mallas muy finas para poder resolver las ecuaciones gobernantes del fenómeno analizado, lo cual eleva el costo computacional cuando ya se modelan sistemas tridimensionales. Para poder resolver el problema, entonces, se prefiere el diseño de mallas estratificadas (malla variable) para que la malla sea muy fina cerca de las fronteras, con el fin de captar de manera precisa los cambios abruptos en el valor de la variable dependiente. Los métodos de residuos ponderados (incluyendo colocación ortogonal) producen discretizaciones que incluyen todos los nodos desde una frontera hasta la frontera opuesta, lo que aumenta la precisión en la aproximación del operador diferencial y que, además, se pueden diseñar de tal manera que el malleo sea más fino cerca de las fronteras.
En otras palabras, el malleo constante o uniforme siempre será el ideal, pero dependiendo del problema físico a modelar, las mallas serán extremadamente grandes, por lo cual en estos casos, se prefiere malleo variable o estratificado (por regiones), independientemente de si el método de discretización es de diferencias finitas, elemento finito, residuos ponderados, colocación ortogonal, etc.
5. Conclusiones
En este trabajo se ha resuelto una ecuación lineal diferencial ordinaria con el objetivo de hacer claros los procedimientos de aplicación de cada uno de los métodos de residuos ponderados, los cuales han incluido integración algebraica elemental. Los sistemas algebraicos obtenidos en las diferentes metodologías MRP pueden resolverse con álgebra convencional por tratarse de una ecuación diferencial lineal, sin embargo, al presentarse la no linealidad en la ecuación diferencial a resolverse, los sistemas de ecuaciones que se obtienen son no lineales y entonces es necesario utilizar métodos numéricos como Newton-Raphson.
De las diferentes metodologías presentadas en este trabajo, el método de colocación simple fue el que exhibió un mayor error absoluto contra las demás soluciones obtenidas. Sin embargo, el error absoluto presentado por la colocación simple puede disminuirse considerablemente si se utilizan otros métodos derivados como colocación ortogonal o colocación ortogonal sobre elementos finitos. Este trabajo ha detallado la aplicación de las metodologías MRP con el fin de hacer más accesibles estas técnicas numéricas a estudiantes de ingeniería noveles en la disciplina de métodos numéricos, con el fin de resignificar el discurso matemático escolar (Sandoval et al, 2021b y 2022) que impera en estas asignaturas, haciendo más comprensibles los procesos de aplicación. Por otro lado, siempre es deseable contar con una solución exacta o numérica obtenida por métodos como diferencias finitas, ya que esta será el referente para verificar los resultados obtenidos con MRP.
6. Apéndice
#Codigo Maple metodos de residuos ponderados para el caso de estudio presentado
#en este articulo
#Se utilizo Maple 2021
restart;
with(plots):
#Ecuacion diferencial
ode := diff(y(x), x, x) – 2*diff(y(x), x) + 1 = 0;
ics := y(0) = 0, y(1) = 0;
Yexact := dsolve(ode);
Yexact := rhs(dsolve({ics, ode}));
exa:=plot(Yexact, x = 0 .. 1, color= blue, legend=[«Analitico»], thickness=0):
#Residuo R(x) propuesto;
yy := f*x^4 + d*x^3 + c*x^2 + b*x + a;
#Satisfacer la primera condicion de frontera, en x=0
A:=solve(subs(x = 0, yy) = 0,a);
#Satisfacer la segunda condicion de frontera, en x=1
B:=solve(subs(x = 1, a=A, yy) = 0,b);
y1 := subs(a = A ,yy);
y1 := subs(b = B, y1);
NULL;
Res := diff(y1, x, x) – 2*diff(y1, x) + 1;
#Metodo de los subdominios
#Establecer los subdominios
#Resolver las integrales
sub1 := int(Res, x = 0 .. 0.33) = 0;
sub2 := int(Res, x = 0.33 .. 0.67) = 0;
sub3 := int(Res, x = 0.67 .. 1) = 0;
r1 := solve({sub1, sub2, sub3}, {c, d, f});
ysol := subs(c = rhs(r1[1]), d = rhs(r1[2]), f = rhs(r1[3]), y1);
aprox := plot(ysol, x = 0 .. 2, color = red, linestyle = dash,
legend = [«subdominios»], thickness=2):
display(exa, aprox, view = [0 .. 1, 0 .. 0.15]);
error_subs := plot(abs(Yexact – ysol),x = 0 ..1 ,color=red, thickness=0,
legend=[«Error subdominios»]):
#Metodo de Minimos cuadrados
#Obtener los pesos W con las derivadas Parciales
#En este caso de estudio se puede calcular la derivada con coeff, o bien con el #commando diff
w1:=coeff(Res, c);
w2:=coeff(Res, d);
w3:=coeff(Res, f);
#Resolver la integrales
Gar1 := int(w1*Res, x = 0 .. 1) = 0;
Gar2 := int(w2*Res, x = 0 .. 1) = 0;
Gar3 := int(w3*Res, x = 0 .. 1) = 0;
r2 := solve({Gar1, Gar2, Gar3}, {c, d, f});
ysol2 := subs(c = rhs(r2[1]), d = rhs(r2[2]), f = rhs(r2[3]), y1);
aprox2:= plot(ysol2, x = 0 .. 1, color = magenta, linestyle = spacedash,
legend [«LMS»], thickness=3):
error_Gar := plot(abs(Yexact – ysol2), x = 0 .. 1, color = magenta,
linestyle = spacedash, thickness = 1, legend = [«Error LMS»]):
#Metodo de colocacion
#Fijar los puntos de colocacion
col1 := subs(x = 0.33, Res);
col2 := subs(x = 0.67, Res);
col3 := subs(x = 1, Res);
r3 := solve({col1, col2, col3}, {c, d, f});
ysol3 := subs(c = rhs(r3[1]), d = rhs(r3[2]), f = rhs(r3[3]), y1);
aprox3:= plot(ysol3, x = 0 .. 1, color = black, linestyle = spacedash,
legend = [«Colocacion»], thickness=2):
error_col := plot(abs(Yexact – ysol3), x = 0 .. 1, color = black,
linestyle=solid ,thickness = 0, legend = [«Error Colocacion»]):
#Metodo de los momentos;
#Polinomios de Legendre
p1:=1;
p2:=1-2*x;
p3 :=1-6*x+6*(x)^(2);
M1 := int(p1*Res, x = 0 .. 1) = 0;
M2 := int(p2*Res, x = 0 .. 1) = 0;
M3 := int(p3*Res, x = 0 .. 1) = 0;
r2 := solve({M1, M2, M3}, {c, d, f});
ysol4 := subs(c = rhs(r2[1]), d = rhs(r2[2]), f = rhs(r2[3]), y1);
aprox4:= plot(ysol4, x = 0 .. 1, color = olive, linestyle = dashdot,
legend = [«Momentos»], thickness=3):
error_mt := plot(abs(Yexact – ysol4), x = 0 .. 1, color = olive,
linestyle = solid, thickness = 0, legend = [«Error momentos»]):
display(error_subs, error_col,error_Gar, error_mt, font = [«HELVETICA», 13],
labelfont = [«HELVETICA», 13], labels = [«x», «Error absoluto»],
labelfont = [«HELVETICA», 13], numpoints = 15,
labeldirections = [«horizontal», «vertical»],size=[600,400]);
display(exa, aprox,aprox3,aprox2, aprox4, view = [0 .. 1, 0 .. 0.15],
font = [«HELVETICA», 13], labelfont = [«HELVETICA», 13],
labels = [«x», «Error absoluto»], labelfont = [«HELVETICA», 13],
numpoints = 15, labeldirections = [«horizontal», «vertical»],
size=[600,400]);
Referencias
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